在进行资产配置时,最经典运用也最广泛的当属马科维茨的MVO,但是均方差优化有个关键的输入变量——预期收益率,而优化的组合权重对预期收益率又特别的敏感,导致MVO存在一定的缺陷。
Black-Litterman模型算是对MVO的一个扩展,其主要的贡献是提供了一个理论框架,能够将市场均衡收益和个人观点整合到一块,用以重新估计更可靠的预期收益率,然后将预期收益率带入MVO,得出最优资产配置。
B-L 模型使用贝叶斯方法,将投资者对于一个或多个资产的预期收益的主观观点与先验分布下预期收益的市场均衡向量相结合,形成关于预期收益的新的估计。这个基于后验分布的新的收益向量,可以看成是投资者观点和市场均衡收益的加权平均。
马克维兹优化会出现不合情理的配置:无限制条件下,会出现对某些资产的 强烈卖空,当有卖空限制时,某些资产的配置为零,同时在某些小市值资产 配有较大的权重。问题的原因有:
(1)期望收益非常难以估计,一个标准的 优化模型,需要对所有资产都有收益估计,因此投资者就会基于他们常用的 历史收益和一系列假设条件进行估计,导致不正确估计的产生。
(2)组合权 重对收益估计的变动非常敏感。
(3)传统模型无法区分不同可信度的观点, 观点不能很好被模型所表达。
B-L 模型在均衡收益基础上通过投资者观点修正了期望收益,使得马克维兹 组合优化中的期望收益更为合理,而且还将投资者观点融入进了模型,在一 定程度上是对马克维兹组合理论的改进。
本文的重点就在于如何用个人观点修正期望收益
主要分下面3个部分:
1.加入个人观点之前,求预测收益率的先验分布
假设预期收益服从正态分布:
其中:
n 表示资产数量
τ(tao):标量(Scalar)
Σ:n 个资产收益的协方差矩阵(n×n 矩阵)
П:隐含均衡收益向量 (n×1 列向量)
2.构建观点正态分布
k 表示投资者观点数量(k<=n)
P:投资者观点矩阵(k×n 矩阵,当只有一个观点时,则为1×n 行向量)
Q:观点收益向量(k×1 列向量)
Ω:观点误差的协方差矩阵,为对角阵,表示每个观点的信心水平(k×k 矩阵)
3.将观点引入之前的预期收益分布,得到调整的预期收益分布
E[R]:新(后验)收益向量 (n×1 列向量)
′ 表示矩阵转置
-1 表示逆矩阵
在求得新预期收益向量后,我们进而可以带入MOV模型,求出最优资产配置组合权重W
3.1 输入参数
(1)W 每个资产的均衡权重
按照CAPM假设,最优的风险资产组合即为现有的整个市场,所以均衡权重应该是按照现有的资产之间的总市值占比求得。
PS:这里需要w是为了求初始的均衡收益,然后求均衡收益的方式有很多,比如CAPM估计,历史平均来计算等。
(2)Σ 资产之间的协方差矩阵
通过日度历史数据计算得到(当然,也可以对协方差矩阵进行估计预测之类的)
(3) δ风险厌恶系数
可以假设(一般1~3),也可以计算得到,计算公式是:
(4)τ 均衡收益方差的刻度值
通常取值比较小,在0.025~0.05
PS:因为假设是先验分布均衡收益的方差是和实际收益率的方差是成比例的,由于B-L模型是将市场均衡收益和个人观点整合到一起的,那么先验分布的均衡收益方差越大的话,其所占的权重也就越小,个人观点权重越大,所以τ也可以看成是观点权重。
3.2 步骤
(1) 用反向求解的方式计算得到先验的均衡收益
或者用历史平均来估计均衡收益,又或者用CAPM估计。我们下面的例子将以历史收益估计均衡收益。
(2) 个人观点模型化
观点可以涉及单个资产,也可以涉及多个资产乃至所有资产,也可以有多个资产,最后按照一定的规则将所有观点构建成矩阵P、Q和Ω。
考虑有K个观点n个资产的例子,此时,P就是k*n矩阵,每一行代表一个观点,Q为K*1矩阵,存放每个观点的超额收益。Ω是k*k对角矩阵,对角线上的每一个元素代表该观点的方差,与对该观点的置信程度成反比,在学术界常用的公式是:
举例:
假设有4种资产、2个观点,观点一:资产1比资产3的预期收益率要多2%,置信度为w1;观点二:资产2的预期收益率为3%,置信度为w2。由于资产4没有任何观点,所以资产4的预期收益不需要调整,随后得出如下矩阵:
(3) 计算整合后调整的预期收益率
这里直接给出公式:
3.3 结果
调整后的预期收益率估计:
后验分布预期收益率的方差:4.1 选取的资产(标)
我们从申万28个一级行业中随便选取6个来举例。这里选取的是 化工、钢铁、有色金属、电子、食品饮料、纺织 6个行业。
采用历史日收益率计算均衡收益,选取时间段为2005年1月1日至2014年1月1日。 下面代码获取数据,最后得到的数据为一个列为行业标号,行为时间的矩阵(点击参看原文代码)。
4.2 参数设定及计算
计算或者设定模型所需要的其他参数,主要有:初始均衡收益、协方差矩阵(注意:都需要经过年化处理)、风险厌恶系数、τ 、加入观点相关的矩阵P、Q、W。
这里的参数设定比较随意,风险厌恶系数直接假设2
获得观点
观点可以自行组织,我们在计算初始均衡收益的时候考虑的是平均年化收益,显然这里是有个人观点改进的空间的,不妨先来看看个指数净值曲线:
再来对比下平均年化收益:801030 0.130297
801040 0.069169
801050 0.206015
801080 0.160056
801120 0.239794
801130 0.151224
我们发现,食品饮料(801120)是跑赢A股指数最多的,且总体比较稳定
有色金属(801050)虽然年化收益排第二,但显然进年来在走下坡路,而且前些年的高收益拉高了平均,近期收益期望应当下调
钢铁(801040)表现最差,且也是疲软趋势
电子(801080)则从跑输A指到跑赢A指,稳步上升
再对比每个行业相对食品饮料的平均年化收益,我们简单给出下面三个观点:
801030 0.109497
801040 0.170624
801050 0.033779
801080 0.079738
801120 0.000000
801130 0.088570
观点1: 食品饮料的年化收益比钢铁高20%(在原来0.17上差距加大)
观点2:有色金属的年化收益为10%(相比原来平均0.20615大幅下调)
观点3:电子的年化收益为20%(相比原来0.16上调)
当然,这样获得的观点不一定正确,也比较片面,实际考虑的因素可以很多。这里只做个简单分析。
然后根据观点得到 P Q Ω
801040 0.047898
801050 0.170871
801080 0.155716
801120 0.236108
801130 0.141746
可以看出,钢铁和有色金属的期望收益大幅下降了。
我们不妨分别带入MVO,在无约束的条件下,求出各自的最优资产配置权重W。
801030 -0.370762801040 -0.916984
801050 0.564449
801080 -0.049731
801120 2.159178
801130 -0.261250
根据最终期望收益率计算最优权重
再计算调整预期收益率后带入均值-方差模型的最优权重解:
后验分布预期收益率的方差:
调整后预期收益率方差:801040 -0.974334
801050 0.340155
801080 0.125672
801120 2.180347
801130 -0.253641
我们发现,果然钢铁(801040)和有色金属(801050)的权重下降了,而电子(801080)权重上升了。
假设我们允许卖空,将权重绝对值的和调为1,我们比较下两种权重在out-Sample 的2014年1月到2016年1月的净值曲线:
可以看出,加入观点的调整后期望收益计算的权重分配策略并没有跑赢基于均衡期望收益计算的权重的策略。
这里允许卖空影响了策略收益,也可能是参数设定比较粗糙,还有可能我们加入的观点然并卵,并没有帮助收益提升。
另外,可以加入限制条件如限制卖空,权重和为1,限定收益率的,在限制条件下求解均值-方差模型的最优权重解。
本文主要目的是介绍整个模型的基本框架,Black-Litterman值得深入研究的地方还有很多,例如参数的优化、观点的设定等,另外还有一些坑就是收益是不是满足正态分布等等。推荐看一些论文及研报~