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量子计算入门（二）：Qubit control

by wittx 2020-10-06

0. 回顾

在上一篇 transmon qubit 中，我们已经知道了这种量子比特的物理结构和理论基础，以及capacitively two-qubit coupling 时哈密顿量的一般形式。它可以写成：

$H=\sum_{i \in 1,2}\left[\omega_{i} a_{i}^{\dagger} a_{i}+\frac{\alpha_{i}}{2} a_{i}^{\dagger} a_{i}^{\dagger} a_{i} a_{i}\right]-g\left(a_{1}-a_{1}^{\dagger}\right)\left(a_{2}-a_{2}^{\dagger}\right)$

前一项表示为两个Duffing oscillators求和，后一项是电容耦合时的相互作用势。其中，产生、湮灭算符的表达式如下：

$a_{i}^{\dagger} = \frac{\hat{\Phi}}{\Phi_{\mathrm{zpf}}} + i\frac{\hat{Q}}{Q_{\mathrm{zpf}}}$

$a_{i} = \frac{\hat{\Phi}}{\Phi_{\mathrm{zpf}}} - i\frac{\hat{Q}}{Q_{\mathrm{zpf}}}$

$\hat{Q}$ 为电荷算符， $\hat{\Phi}$ 为磁通（等价于超导波函数相位）算符（方便起见后文算符不再打\hat{}）。“ $\mathrm{zpf}$ ”指零点涨落。对这两个量做正则变换，得到正则共轭量：

$\phi \equiv 2 \pi \Phi / \Phi_{0}$

$n\equiv Q / 2 e$

$[n, \phi]=i\hbar$

$n=n_{\mathrm{zpf}} \times i\left(a-a^{\dagger}\right)$

$\phi=\phi_{\mathrm{zpf}} \times\left(a+a^{\dagger}\right)$

以上内容在前文都有所涉及，一些细节问题（不重要的问题，例如常系数的具体结构什么的）请参阅 H. Devoret 写的小册子（下面的链接是pdf），毕竟，这本小册子才是真 · 基础文献（万恶之源）↓

https://qulab.eng.yale.edu/documents/reprints/Houches_fluctuations.pdfqulab.eng.yale.edu

总之，关键在于 coupled qubit Hamiltonian 的表达式。在凝聚态理论研究中，哈密顿量总是很重要的（守恒量都很重要）。尽管，这个表达式并不完整，它少了在实际过程中人们最提心吊胆的一个东西：调控项，或者叫驱动项。Transmon qubit 真实完整的哈密顿量的一般形式是：

$H=H_{\text {Duffing oscillators}}+H_{\text {interaction}}+H_{\text {driving}}$

最后的驱动项，来自于外界人为的操控。所有门操作（gate operation）本质上都是在调整这个driving term. 虽然都叫“门”，但是量子比特逻辑门（quantum logic gates）与经典逻辑门的原理完全不同。接下来，本文将阐述量子门的理论构建，其实际应用将在下一篇讨论。

1. Bloch sphere

不管实际操作过程中我们是否能把计算空间基底压在 $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ 两个态上——这不仅往往做不好，而且事实证明利用更高的能级还可以提高一些比特门的运行效率——在理论上一个量子比特的态矢通常采用如下形式：

$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=\cos \frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2}|1\rangle， \theta\in[0,\pi]， \phi\in[0,2\pi)$

$|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$

即两个基底的叠加态。 $\phi$ 是相位——严格来讲是两态的相对相位，物理上就是超导电子波函数的相位，这是可测的。整体相位由于没有观测意义，所以取消了，致使 $\alpha$ 退化成实数，必须非负，因此扩展 $\theta$ 的定义域 $[0,\frac{\pi}{2}]\rightarrow[0,\pi]$ ，使得 $\theta\rightarrow\frac{\theta}{2}$ 。在座的各位都是深谙量子力学的国家栋梁，为什么 $|\psi\rangle$ 非得采用这个形式，我就不赘述了。沿袭对“自旋”的莫名依恋，记 $|0\rangle$ 为自旋向上 $|\uparrow\rangle$ ， $|1\rangle$ 为自旋向下 $|\downarrow\rangle$ ，那么遍历所有 $\theta$ 和 $\phi$ ，这样的态矢构成了一个单位球面，我们称之为布洛赫球（Bloch sphere）。

Transverse横向，即x-y平面；longitudinal纵向，即z轴。横向纵向的划分，关系到之后的噪音分析。

如图所示，正北（上）表示100%的 $|0\rangle$ ，正南（下）表示100%的 $|1\rangle$ ，其余球面点皆为二者叠加态，概率分布体现在纬度上，相对相位体现在经度上。球面上的每一个态矢（Bloch vector）的坐标系形式是 $\vec{a}=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$ 。需要注意的是，态矢看似是静止的，但实际上它以 $\left(E_{1}-E_{0}\right) / \hbar$ 的频率绕z-轴进动（precess），为此我们一般选择让整个x-y平面以相同频率反向绕z-轴转动，等效使态矢静止，这样的布洛赫球被称为“rotating frame”（不知道该怎么翻译。旋转框架？）

为了方便在第四篇讨论噪音问题和退相干问题（decoherence），这里直接给出纯态（pure state）的密度矩阵：

$\rho=\frac{1}{2}(I+\vec{a} \cdot \vec{\sigma})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1+\cos \theta & e^{-i \phi} \sin \theta \\ e^{i \phi} \sin \theta & 1-\cos \theta \end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc} \cos ^{2} \frac{\theta}{2} & e^{-i \phi} \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} & \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ll} |\alpha|^{2} & \alpha \beta^{*} \\ \alpha^{*} \beta & |\beta|^{2} \end{array}\right)$

其中， $I$ 是单位矩阵， $\vec{\sigma}=\left[\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}\right]$ 是泡利矩阵（Pauli matrices）构成的向量。上述形式看着吓人，但实际上非常trivial，就是简单地向量内积得到 $a_{x}\sigma_{x}+a_{y}\sigma_{y}+a_{z}\sigma_{z}$ ,展开泡利矩阵，对应位置求和即可。根据最后的结果，显然

$\operatorname{Tr}\left(\rho^{2}\right)=|\alpha|^{4}+|\alpha|^{2}|\beta|^{2}+|\alpha|^{2}|\beta|^{2}+|\beta|^{4}=1$

这表示该密度矩阵对应的量子态为纯态。不难发现，密度矩阵表达式中唯一的变量是 $\vec{a}$ ，如果 $\vec{a}$ 不在球面上，那自然不能再取 $(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$ ，其模必然变小（小于1），导致最后的 $\operatorname{Tr}\left(\rho^{2}\right) < 1$ ，这就是混态的表现（mixed states）。结论：布洛赫球面上的点都是纯态，内部的所有点都是混态。关于纯态和混态的物理意义，我会在下一篇开头详述，在此给出一个wiki链接方便查阅↓

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%94%E6%85%8Bzh.wikipedia.org

综上，从几何上看，量子计算的过程就是把 qubit 的态矢在布洛赫球面上摆来摆去的过程，可以想象一堆内带指针的透明球壳阵列，当你摆弄其中一个指针的时候，其余所有的指针也都沿球壳移动。同时，还要保证 qubit 的纯洁性，与外界的任何能量交换都会使它变污，变污后测量出的结果就是一泡污。当然，变污也需要时间的积淀，这个时间的术语叫做退相干时间（quantum decoherence time）。这方面的细节问题我们会在第四篇讨论，现在的问题是，我们如何优雅地把 qubit 变污。那么接下来，本文将介绍一些基础的量子比特门。须知，在工程上，门是一个很重要的研究方向（水很深），几乎每天都有新的设计、新的优化、新的理论产生，这个小专栏肯定无法涵盖到前沿研究，只能挑几个重要的讲。

2. Single-qubit gate

首先介绍单量子比特门。

单量子比特门所能做的唯一的事情就是把态矢从球面上一点旋转（或者说球面平移）到另一点，众所周知这种操作对应的矩阵都是幺正的（unitary）。简单的几何学告诉我们，最少只要两个旋转门就能完成任意旋转操作。这两个门的选取方式不唯一，比较通用的——教材里都会写的——是 Hadamard gate 和 Phase shift gate. 所有单量子比特门都可以写成 $2\times2$ 的矩阵（因为二进制，每个量子比特的计算空间被限制在2维）。Hadamard gate 记为 “H”，其矩阵形式是：

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$

我们把态矢也写成矩阵的形式 $|\psi\rangle=\cos \frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2}|1\rangle=\left[\begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right]$ ，

将 Hadamard gate 作用上去，我们可以看看效果：

$H|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc} \cos \frac{\theta}{2} +e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2}\\ \cos \frac{\theta}{2} -e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right]$

行吧，不得不承认这个效果不是很明显......那按照教科书上的写法吧，我们把Hadamard gate 作用在100%的自旋向上或100%的自旋向下的状态，得到：

$H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+|1\rangle \right)$

$H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle-|1\rangle \right)$

“显然”， Hadamard gate 产生的效果是将态矢以 x-z 平面角平分线为轴，转180度。

Phase shift gate 直译为“相移门”，记为 $P$ ，顾名思义其作用就是变换相位，定义如下：

$P_{\delta}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\delta} \end{array}\right]$

$P|\psi\rangle=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\delta} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i (\phi + \delta)} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right]$

显然，相移门的效果是把态矢绕z-轴逆时针旋转角度 $\delta$ 度。坦白地讲，我不知道目前有没有实现任意相移门（ $\delta=\forall R$ ），我印象里好像是没有的，实验上 $\delta$ 会取一些预设好的特定值，比如 $\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}$ 之类。理论上，利用这两个门可以把态矢从任意一点 $(\theta_{1},\phi_{1})$ 移动到另一点 $(\theta_{2},\phi_{2})$ ，算符如下：

$P_{\frac{\pi}{2}+\phi_{2}}HP_{\theta_{2}-\theta_{1}}HP_{-\frac{\pi}{2}-\phi_{1}}$

请读者自行证明......其实这个结论用处不大，做实验都是有的放矢，践行更高效的算法，一剑封喉，不会让你就对着一个 qubit 摆弄的。

最后，以示完整性，本节再罗列四个单量子比特门及其幺正算符。它们分别是一个恒等算符和三个泡利算符：

恒等门（identity gate）： $I=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$ ，平庸操作。

X门（X gate）： $x=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$ ，作用是使 qubit 绕x-轴转180度。

Y门（Y gate）： $Y=\left[\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right]$ ，作用是使 qubit 绕y-轴转180度。

Z门（Z gate）： $Z=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]$ ，作用是使 qubit 绕z-轴转180度。

这四个单量子比特门构成一族完备集，可以用来拆解、组合成任意单量子比特门（理论上如此，实际上不会这么做的，对于量子线路来说门太多不是好事，这要具体算法具体分析）。

3. Two-qubit gate

在此介绍两种十分常见的双量子比特门：受控非门（controlled not gate）和受控相移门（controlled phase gate），分别简称 CNOT 和 CPHASE.

一般双量子比特门都有两个输入端，两个输出端，输入两个量子比特的状态。这两个输入端中，其中一个是控制端，另一个是目标端，对应的量子比特被称为 control qubit 和 target qubit. 如上图所示，其输出依赖于两个量子比特的相互作用，这样的结构也导致双量子比特门往往被用来制备纠缠态。CNOT gate 的使用很普遍，它如同经典电路中的异或门，效果是，如果 control qubit 处于 $|1\rangle$ ，则将 target qubit 翻转180度，取反，即施加一个 X gate；如果 control qubit 处于 $|0\rangle$ ，则不采取任何操作。

$\mathrm{CNOT}(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle,|0\rangle) = \alpha|0\rangle|0\rangle+\beta|1\rangle|1\rangle = \alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$

形式 $\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$ 是典型的纠缠态（四个 Bell states 之一），它无法被两个 qubit 各自原来的计算空间基底分解（关于纠缠态的问题将在下一篇详述）。CNOT gate 的算符矩阵形式是（所有双量子比特门对应的矩阵也都是幺正的）：

$U_{\mathrm{CNOT}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]=|0\rangle\langle 0|\otimes \mathbb{I}+| 1\rangle\langle 1| \otimes \sigma_{x}$

这样看上更加清晰。CPHASE gate 与 CNOT gate 类似，也能产生纠缠态，唯一的区别在于其让 qubit 翻转180度轴不是x-轴，而是z-轴，即只改变相位。

CPHASE gate 示意图，它根据 control qubit 的状态对 target qubit 释放技能 Z gate

它对应的幺正算符是：

$U_{\text {CPHASE }}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]=|0\rangle\langle 0|\otimes 1+| 1\rangle\langle 1| \otimes \sigma_{z}$

虽然双量子比特门往往被拿来制备纠缠态（有些时候我们需要控制纠缠的开始时间），但其作用显然不止如此。如经典计算机一样，逻辑门是完备，在电路中一系列门的作用等同于一系列幺正算符的乘积。上述两个双量子比特门，结合单量子比特门，已经构成了一个可以进行任何算法、表示任何过程的完备门族——实际上都不需要那么多：

$\left\{\mathrm{X}_{\theta}, \mathrm{Y}_{\theta}, \mathrm{Z}_{\theta}, \mathrm{Ph}_{\theta}, \mathrm{CNOT}\right\}$

或者

$\{\mathrm{H}, \mathrm{S}, \mathrm{T}, \mathrm{CNOT}\}$

其中， $\mathrm{S}$ 和 $\mathrm{T}$ 分别是转 $\pi/2$ 和 $\pi/4$ 的单量子比特相移门。

即便双量子比特门本身，也有很多玩法。比如 CNOT gate 的广义化：control qubit 可以是第一行输入，也可以是第二行输入；触发条件可以是 $|1\rangle$ ，也可以是 $|0\rangle$ ，比如：

$B=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

效果是，如果第一行的 qubit 是 $|0\rangle$ 则将第二行的 qubit 翻转；再比如：

$C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$

效果是，如果第二行的 qubit 是 $|1\rangle$ 则将第一行的 qubit 翻转。

最后，重申一遍，包括门的影响，任何与外界的能量交换都会让 qubit 变污，解耦，失真（lose fidelity）。换而言之，即便 qubit 不与环境发生作用，光是各种量子比特门的操作也会把它玩坏，所以 qubit 被玩坏是不可避免的，或者说这正是目的。所以，虽然利用上述的量子比特逻辑门可以做任何计算机能做的事，但一切运算必须在退相干时间内完成，这意味着电路深度不宜过大，要尽可能的简约高效、干净利索（基于transmon qubit的超导量子线路系统目前可以做到 ~ 200s，离子阱系统理论上可以更长，但我目前没有看到成功案例，如果有哪位大佬知道，请在评论区留下DOI......）。

所有对量子比特门的设计、分析、优化，本质上都是在探寻如何更高效、更优雅地把 qubit 玩坏，那么这到底是如何实现的呢？上述讨论都是理论上的数学游戏，实际操作过程可没有这么顺利，我们将在下一篇着重讨论量子逻辑门的应用。

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