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模拟退火算法



模拟退火算法



在实际日常中,人们会经常遇到如下问题:在某个给定的定义域X内,求函数f(x)对应的最优值。此处以最小值问题举例(最大值问题可以等价转化成最小值问题),形式化为:

\min_{x \in X}f(x)

如果X是离散有限取值,那么可以通过穷取法获得问题的最优解;如果X连续,但f(x)是凸的,那可以通过梯度下降等方法获得最优解;如果X连续且f(x)非凸,虽说根据已有的近似求解法能够找到问题解,可解是否是最优的还有待考量,很多时候若初始值选择的不好,非常容易陷入局部最优值。

随着日常业务场景的复杂化,第三种问题经常遇见。如何有效地避免局部最优的困扰?模拟退火算法应运而生。其实模拟退火也算是启发式算法的一种,具体学习的是冶金学中金属加热-冷却的过程。由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的,V.Čern在1985年也独立发明此演算法。

不过模拟退火算法到底是如何模拟金属退火的原理?主要是将热力学的理论套用到统计学上,将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子;分子的能量,就是它本身的动能;而搜寻空间内的每一点,也像空气分子一样带有“能量”,以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始:每一步先选择一个“邻居”,然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。若概率大于给定的阈值,则跳转到“邻居”;若概率较小,则停留在原位置不动。

一、模拟退火算法基本思想

模拟退火是启发示算法的一种,也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。在迭代更新可行解时,以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以下图为例,假定初始解为左边蓝色点A,模拟退火算法会快速搜索到局部最优解B,但在搜索到局部最优解后,不是就此结束,而是会以一定的概率接受到左边的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达全局最优点D,于是就跳出了局部最小值。

根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为p(dE),表示为:

p(dE)=exp(\frac{dE}{kT})

其中k是波尔兹曼常数,值为k=1.3806488\times10^{-23},exp表示自然指数,且dE<0。因此dE/kT < 0,所以p(dE)函数的取值范围是(0, 1)。满足概率密度函数的定义。其实这条公式更直观意思就是:温度越高,出现一次能量差为p(dE)的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。

在实际问题中,这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程。假定当前可行解为x,迭代更新后的解为x_{new},那么对应的“能量差”定义为:

\Delta f = f(x_{new}) - f(x)

其对应的“一定概率”为:

最小值优化:p(\Delta f)=exp(-\frac{\Delta f}{kT})

最大值优化:p(\Delta f)=exp(\frac{\Delta f}{kT})

注:在实际问题中,可以设定k=1,即将参数kT合并。

二、模拟退火算法描述

  1. 初始化:初始温度T(充分大),温度下限T_{min}(充分小),初始解状态x(是算法迭代的起点),每个T值的迭代次数L
  2. l=1, 2, ..., L做第3至第6步;
  3. 产生新解x_{new}x_{new}=x+\Delta x\Delta x[d_{min}, d_{max}]之间的随机数。
  4. 利计算增量\Delta f = f(x_{new}) - f(x),其中f(x)为优化目标;
  5. \Delta f<0(若寻找最大值,\Delta f>0)则接受x_{new}作为新的当前解,否则以概率exp(-\Delta f / (kT))接受x_{new}作为新的当前解;
  6. 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。(终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。);
  7. T逐渐减少,且T>T_{min},然后转第2步。

在每个温度T下迭代L次,通过不断改变x来寻找当前温度下的最优值,然后降低温度继续寻找,直到温度达到最低,即选择概率p接近于0。

 

注意:生成新的x后,要判断是否在定义域内,对于超出的x值要抛弃。

三、模拟退火算法的优缺点

模拟退火算法的应用很广泛,可以高效地求解NP完全问题,如货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP)、最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)等等,但其参数难以控制,不能保证一次就收敛到最优值,一般需要多次尝试才能获得(大部分情况下还是会陷入局部最优值)。观察模拟退火算法的过程,发现其主要存在如下三个参数问题:

(1) 温度T的初始值设置问题 

温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。

(2) 退火速度问题,即每个T值的迭代次数

模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索是相当必要的,但这也需要计算时间。循环次数增加必定带来计算开销的增大。

(3) 温度管理问题 

温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:

T=\alpha \times T , \alpha \in (0, 1)

注:为了保证较大的搜索空间,α一般取接近于1的值,如0.95、0.9



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