Login    Register account    访问优钧购物系统      
    
  


News Message

电磁场的守恒定律:动量、能量与角动量



电磁场的守恒定律:动量、能量与角动量



能量守恒:坡印廷定理

假设区域 [公式] 中有电荷分布 [公式] ,则单位体积上受到的电磁力为:

[公式]

电磁场做功为:

[公式]

注意到 [公式] ,故 [公式] 中第二项(也就是洛伦兹力项)不做功。所以全区域 [公式] 上电磁力总功率为:

[公式]

利用麦克斯韦方程组,把 [公式] 用场量表示: [公式]

[公式]

利用矢量微分法则: [公式] 以及麦克斯韦方程组 [公式] 进一步化简:

[公式]

上式中, [公式] 为坡印廷矢量,是电磁场单位时间内通过单位表面积向外部传递的能量。上式即为坡印廷定理。

上面定理等号左边为电磁场做功,它实际转化为了区域中粒子的机械能或其他形式能。右边第一项曲面积分即为此区域向外传递的能量,第二项即为区域中场能的变化。

若记区域中机械能的能量密度为 [公式] ,同时记 [公式] 为电磁场的能量密度,那么上式也可以写成微分形式:

[公式]


以上是针对真空中的电磁场的讨论(或者说,我们不区分电荷/电流到底是自由电荷/电流还是束缚电荷/电流)。在介质中,我们更关心构建系统中自由电荷所需要的能量。这时需要把以上讨论中的电荷分布 [公式] 与电流分布 [公式] 改为自由电荷分布 [公式] 与自由电流分布 [公式] ,推导中用到的麦克斯韦方程组改为介质中的。

[公式]

可见,此时电磁场能量密度的时间变化率为 [公式] (这里没有利用本构关系,请与线性介质下的公式相区分!)。坡印廷矢量变为 [公式] (同样地,这里也不需要知道本构关系)。

动量守恒

现在考虑电磁场中粒子的动量。单位体积单位时间内粒子动量的变化即为单位体积上的电磁力 [公式] 。故对全空间:

[公式]

利用麦克斯韦方程组,全部换成用场量表示:

[公式]

最后一步用到了分部积分,把对电场的时间偏导转成了对磁场的。利用麦克斯韦方程组进一步化简:

[公式]

在右式上再加一个恒为0的项 [公式] ,不会影响结果。利用矢量微分规则,继续化简:

[公式]

我们定义麦克斯韦应力张量 [公式] : [公式] ,其中 [公式] 是Kronecker [公式] 符号。它的物理意义就是电磁场作用在单位表面积上的应力(压力/剪切应力)。然后就可以注 意 到

[公式]

(如果想要验证上式,只需把 [公式] 算符视为一个普通的向量,验证左右两边的各分量对应相等即可。)

这样,将动量式化简为

[公式]

这个式子结构上和坡印廷定理非常相似。等号左边是区域中粒子所受电磁力合力,也是(机械)动量变化率。等号右边第二项表示的是电磁场本身动量 [公式] 的时间变化率,第一项表示的是穿过区域边界流入的动量。

若记区域中机械动量密度为 [公式] ,电磁场动量密度为 [公式] ,那么上式也可以写成微分形式:

[公式]

这样,可以看出, [公式] 表示动量流密度, [公式] 表示单位时间内通过 [公式] 方向的单位面元沿 [公式] 方向的动量。这是 [公式] 的另一个物理含义。


以上是对真空中的电磁场的讨论。对于介质中的情况则非常复杂。事实上,除了在线性介质中,我们很难明确区分动量的来源从而给出场的动量的明确定义。在一般情况下,出于对这一问题的不同认识,可以得到不同形式的动量密度与麦克斯韦应力张量。因此,我就简单地类比之前的操作,用自由电荷分布 [公式] 与自由电流分布 [公式] 来代替 [公式] 和 [公式] ,得到动量密度的一种形式:

[公式]

我就暂时把最后一个式子的第一项写成张量的散度的形式了,只是定性地认为这一项表示了区域表面的动量流。而第二项则给出了介质中电磁场动量密度的闵可夫斯基形式:

[公式]

角动量守恒

由上面的推导知道,真空中电磁场的动量密度为 [公式] 。那么立刻可以知道真空中角动量密度为 [公式] 。

可见,只要 [公式] ,静场也会有动量和角动量。考虑经典的动量或角动量守恒时,必须要将电磁场的那一部分也包含在内,才能得到正确的结果。例如Feynman盘佯谬,在计算了电磁场的角动量以后仍然是守恒的。














请输入评论